Question

8．已知函數(shù)f（x）滿足f（x）=2f（$\frac{1}{x}$），當(dāng)x∈[1，3]，f（x）=lnx，若在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）．

Answer 1

分析 由題意化簡f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，3]}\\{-2lnx，x∈[\frac{1}{3}，1）}\end{array}\right.$；從而作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，3]}\\{-2lnx，x∈[\frac{1}{3}，1）}\end{array}\right.$與y=ax在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，3]內(nèi)的圖象，結(jié)合圖象求解．

解答 解：由題意知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，3]}\\{-2lnx，x∈[\frac{1}{3}，1）}\end{array}\right.$；
∵在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，3]內(nèi)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax與x軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
∴函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，3]}\\{-2lnx，x∈[\frac{1}{3}，1）}\end{array}\right.$與y=ax在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，3]內(nèi)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，
作函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lnx，x∈[1，3]}\\{-2lnx，x∈[\frac{1}{3}，1）}\end{array}\right.$與y=ax在區(qū)間[$\frac{1}{3}$，3]內(nèi)的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，
當(dāng)直線y=ax與f（x）=lnx相切時(shí)，
$\frac{lnx}{x}$=$\frac{1}{x}$，
解得，x=e；此時(shí)a=$\frac{1}{e}$；
當(dāng)直線y=ax過點(diǎn)（3，ln3）時(shí)，
a=$\frac{ln3}{3}$；
故$\frac{ln3}{3}$≤a＜$\frac{1}{e}$；
故答案為：[$\frac{ln3}{3}$，$\frac{1}{e}$）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)的關(guān)系應(yīng)用及數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．