Question

已知無窮數(shù)列中，、 、、構(gòu)成首項(xiàng)為2，公差為－2的等差數(shù)列，、、、，構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其中，.

（1）當(dāng)，，時，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若對任意的，都有成立．

①當(dāng)時，求的值；

②記數(shù)列的前項(xiàng)和為．判斷是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）數(shù)列的通項(xiàng)公式為；

（2）①的值為或；②詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)數(shù)列的定義求出當(dāng)時數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意根據(jù)的取值利用分段數(shù)列的形式表示數(shù)列的通項(xiàng)；（2）①先確定是等差數(shù)列部分還是等比數(shù)列部分中的項(xiàng)，然后根據(jù)相應(yīng)的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的周期性求出的值；②在（1）的基礎(chǔ)上，先將數(shù)列的前項(xiàng)和求出，然后利用周期性即可求出，構(gòu)造，利用定義法求出的最大值，從而確定和的最大值，進(jìn)而可以確定是否存在，使得.

試題解析：（1）當(dāng)時，由題意得，                  2分

當(dāng)時，由題意得，                    4分

故數(shù)列的通項(xiàng)公式為                5分

（2）①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923391797651061/SYS201310292340013419250826_DA.files/image020.png">無解，所以必不在等差數(shù)列內(nèi)，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923391797651061/SYS201310292340013419250826_DA.files/image021.png">，所以必在等比數(shù)列內(nèi)，且等比數(shù)列部分至少有項(xiàng)，

則數(shù)列的一個周期至少有項(xiàng)，                           7分

所以第項(xiàng)只可能在數(shù)列的第一個周期或第二個周期內(nèi)，

若時，則，得，

若，則，得，

故的值為或                                 9分

②因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923391797651061/SYS201310292340013419250826_DA.files/image031.png">，，

所以，               12分

記，則，

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013102923391797651061/SYS201310292340013419250826_DA.files/image035.png">，所以，即，           14分

故時，取最大，最大值為，

從而的最大值為，不可能有成立，故不存在滿足條件的實(shí)數(shù)     16分

考點(diǎn)：等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和、數(shù)列的周期性、數(shù)列的單調(diào)性