Question

如圖，已知直線l：y=kx-2與拋物線C：x²=-2py（p＞0）交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，

OA

+

OB

=（-4，-12）．
（1）求直線l和拋物線C的方程；
（2）拋物線上一動(dòng)點(diǎn)P從A到B運(yùn)動(dòng)時(shí)，求△ABP面積最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）把直線與拋物線方程聯(lián)立，設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂，進(jìn)而根據(jù)直線方程求得y₁+y₂的表達(dá)式，然后利用

OA

+

OB

=（-4，-12）求得p和k，則直線l和拋物線C的方程可得．
（2）設(shè)P（x₀，y₀），依題意，拋物線過(guò)P的切線與l平行時(shí)，△APB面積最大；對(duì)拋物線方程求導(dǎo)，求得x₀，代入拋物線方程求得y₀，點(diǎn)P的坐標(biāo)可得，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離求得P到直線l的距離把直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式求得|AB|，最后求得∴△ABP的面積最大值．

解答： 解：（1）由

y=kx-2 x2=-2py

得，x²+2pkx-4p=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-2pk，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-2pk²-4，
因?yàn)?span id="qiczohs" class="MathJye">

OA

+

OB

=（x1+x2，y1+y2）=（-2pk，-2pk2-4）=（-4，-12），
所以

-2pk=-4 -2pk2-4=-12

，
解得

p=1 k=2

，
所以直線l的方程為y=2x-2，拋物線C的方程為x²=-2y；
（2）設(shè)P（x₀，y₀），依題意，拋物線過(guò)P的切線與l平行時(shí)，△APB面積最大，y′=-x，
所以-x₀=2⇒x₀=-2，y₀=-

1

2

x₀²=-2，所以P（-2，-2）．
此時(shí)P到直線l的距離d=

|2•(-2)-(-2)-2|

22+(-1)2

=

4 5

5

，
由

y=2x-2 x2=-2y

得，x²+4x-4=0，
|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1•x2

=4

10

，
∴△ABP的面積最大值為

1

2

×4

10

×

4 5

5

=8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．解題時(shí)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，解決問(wèn)題．