Question

【題目】已知等差數(shù)列滿足，前8項(xiàng)和．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足．

① 證明：為等比數(shù)列；

② 求集合．

Answer 1

【答案】（1）（2）①見解析，②

【解析】

（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d．根據(jù)a4＝4，前8項(xiàng)和S8＝36．可得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）①設(shè)數(shù)列{bn}前n項(xiàng)的和為Bn．根據(jù)bn＝Bn﹣Bn﹣1，數(shù)列{bn}滿足．建立關(guān)系即可求解；

②由，得，即．記，由①得，，

由，得cm＝3cp＞cp，所以m＜p；設(shè)t＝p﹣m（m，p，t∈N*），由，得．討論整數(shù)成立情況即可；

（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d．

因?yàn)榈炔顢?shù)列滿足，前8項(xiàng)和，

所以，解得

所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

（2）①設(shè)數(shù)列前項(xiàng)的和為．

由（1）及

得

由③-④得

3

-

=

-

．

所以 ，

又，所以，滿足上式．

所以

當(dāng)時(shí)，

由⑤-⑥得，．

，

所以，，

所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列．

②由，得，即．

記，由①得，，

所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．

由，得，

所以．

設(shè) ，由，得．

當(dāng)時(shí)，，不合題意；

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)符合題意；

當(dāng)時(shí)，，不合題意；

當(dāng)時(shí)，，不合題意．

下面證明當(dāng)時(shí)，．

不妨設(shè) ，

，

所以在上單調(diào)增函數(shù)，

所以，

所以當(dāng)時(shí)，，不合題意．

綜上，所求集合 ．