Question

已知(1+m

x

)n（m是正實(shí)數(shù)）的展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為112．
（1）求m，n的值；
（2）求展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；
（3）求(1+m

x

)n(1-x)的展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析：（1）由題意可得 2ⁿ=256，由此解得n=8．再根據(jù)含x項(xiàng)的系數(shù)為

C

2 8

m2=112，求得m的值．
（2）展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為 

C

1 8

+

C

3 8

+

C

5 8

+

C

7 8

，再根據(jù) 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求得結(jié)果．
（3）(1+2

x

)8(1-x)=(1+2

x

)8-x(1+2

x

)8，可得含x²的系數(shù)為

C

4 8

24-

C

2 8

22，運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）由題意可得 2ⁿ=256，解得n=8．…（3分）
含x項(xiàng)的系數(shù)為

C

2 8

m2=112，…（5分）
解得m=2，或m=-2（舍去）．
故m，n的值分別為2，8．…（6分）
（2）展開式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為

C

1 8

+

C

3 8

+

C

5 8

+

C

7 8

=28-1=128． …（9分）
（3）(1+2

x

)8(1-x)=(1+2

x

)8-x(1+2

x

)8，…（11分）
所以含x²的系數(shù)為

C

4 8

24-

C

2 8

22=1008．…（15分）

點(diǎn)評：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．