Question

已知(1+m

x

)n(m∈R+)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，展開式中含x項(xiàng)的系數(shù)為112．
（Ⅰ）求m、n的值；
（Ⅱ）求(1+m

x

)n(1-

3	x

)6展開式中含x²項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ=256，可得n，再由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式結(jié)合含x項(xiàng)的系數(shù)為112可求的n的值；
（Ⅱ）由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式

C

r 8

2r

C

s 6

(-1)sx

r

2

+

s

3

可含求得x²項(xiàng)的系數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）二項(xiàng)式系數(shù)之和為2ⁿ=256，可得n=8；…2分
設(shè)含x項(xiàng)為第r+1項(xiàng)，則T_r+1=

C

r 8

(m

x)

r=

C

r 8

m^rx

r

2

…3分
故

r

2

=1，即r=2，…4分
則

C

2 m

m²=112，解得m=±2…6分
∵m∈R+，
∴m=2…7分
（Ⅱ）∵(1+2

x

)n(1-

3	x

)6展開式的通項(xiàng)為

C

r 8

(2

x

)r•

C

s 6

(-

3	x

)s，即

C

r 8

2r

C

s 6

(-1)sx

r

2

+

s

3

（其中r=0，1，2，…8；s=0，2，…6），…9分
令

r

2

+

s

3

=2，則3r+2s=12…10分
∴

r=0 s=6

或

r=2 s=3

或

r=4 s=0

…12分
∴x²的系數(shù)為

C

0 8

（-1）⁶+

C

2 8

2²

C

3 6

（-1）³+

C

4 8

24(-1)0=-1119…14分

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，著重考查二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，注重轉(zhuǎn)化與方程思想的運(yùn)用，屬于中檔題．