Question

17．已知定義在R上的函數(shù)f（x），對任意的x∈R，均有f（-x）+f（x）=0，f（x+1）+f（x）=0，且當(dāng)x∈（0，1）時，f（x）=$\sqrt{x}$，則當(dāng)$x∈[\;-3\;，\;-\frac{5}{2}\;]$時，f（x）的取值范圍是$（{-1，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]∪\left\{0\right\}$．

Answer 1

分析 根據(jù)f（-x）+f（x）=0，f（x+1）+f（x）=0，得到函數(shù)f（x）的奇偶性和周期性，利用奇偶性和周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)論．

解答 解：由f（-x）+f（x）=0，得f（-x）=-f（x），即函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，
由f（x+1）+f（x）=0，得f（x+1）=-f（x），
則f（x+2）=-f（x+1）=f（x），
即函數(shù)的周期為2，
當(dāng)$x∈[\;-3\;，\;-\frac{5}{2}\;]$時，則x+2∈[-1，-$\frac{1}{2}$]，
當(dāng)x=-3時，f（-3）=f（-1）=-f（0）=0，
當(dāng)x∈（-3，-$\frac{5}{2}$），則x+2∈（-1，-$\frac{1}{2}$），
若x∈（-1，0）時，則-x∈（0，1），
則f（-x）=$\sqrt{-x}$，
∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x）=$\sqrt{-x}$=-f（x），
即f（x）=-$\sqrt{-x}$，x∈（-1，0），
則當(dāng)x∈（-3，-$\frac{5}{2}$），
f（x）=f（x+2）=-$\sqrt{-x-2}$，
∵x∈（-3，-$\frac{5}{2}$），
∴-x∈（$\frac{5}{2}$，3），
-x-2∈（$\frac{1}{2}$，1），
則$\sqrt{\frac{1}{2}}$＜$\sqrt{-x-2}$＜$\sqrt{1}$，
即$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜$\sqrt{-x-2}$＜1，
則-1＜-$\sqrt{-x-2}$＜-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即f（x）∈（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
綜上當(dāng)$x∈[\;-3\;，\;-\frac{5}{2}\;]$時，f（x）∈（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪{0}，
故答案為：（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）∪{0}

點(diǎn)評 本題主要考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)條件判斷函數(shù)的奇偶性和周期性是解決本題的關(guān)鍵．