Question

12．（1）已知α是第二象限角，且sinα=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，求$\frac{{sin（α+\frac{π}{4}）}}{sin2α+cos2α+1}$的值．
（2）已知sin（π+α）=$\frac{1}{2}$，求$\frac{{sin（{2π-α}）cos（α+\frac{π}{2}）}}{sin（α-π）}-\frac{{sin（α-\frac{3π}{2}）}}{{tan（{α-π}）}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由α的取值范圍求得cosα=-$\frac{1}{4}$，所以利用倍角公式、兩角和與差的正弦公式對(duì)所求的代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值；
（2）利用誘導(dǎo)公式得到sinα=-$\frac{1}{2}$，根據(jù)誘導(dǎo)公式對(duì)所求的代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)并求值．

解答 解：（1）∵α是第二象限角，且sinα=$\frac{{\sqrt{15}}}{4}$，
∴cosα=-$\frac{1}{4}$．
∴$\frac{{sin（α+\frac{π}{4}）}}{sin2α+cos2α+1}$，
=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα+cosα）}{2sinαcosα+2co{s}^{2}α-1+1}$，
=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}（sinα+cosα）}{2cosα（sinα+cosα）}$，
=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{2×（-\frac{1}{4}）}$，
=$-\sqrt{2}$．

（2）∵sin（π+α）=$\frac{1}{2}$，
∴sinα=-$\frac{1}{2}$，
∴cos²α=$\frac{3}{4}$．
∴$\frac{{sin（{2π-α}）cos（α+\frac{π}{2}）}}{sin（α-π）}-\frac{{sin（α-\frac{3π}{2}）}}{{tan（{α-π}）}}$，
=$\frac{-sinαsinα}{-sinα}$-$\frac{cosα}{tanα}$，
=sinα-$\frac{co{s}^{2}α}{sinα}$，
=-$\frac{1}{2}$-$\frac{\frac{3}{4}}{-\frac{1}{2}}$，
=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的基本關(guān)系式運(yùn)用求三角函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題．