Question

（1）設(shè)正實數(shù)x，y滿足條件

1+lgx-lgy≥0 lgx+lgy-1≤0 lgy≥0

，則2lgx+lgy的最大值為

 

（2）設(shè)P，Q分別為圓x²+（y-6）²=2和橢圓

x2

10

+y²=1上的點，則P，Q兩點間的最大距離是

 

．

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃,對數(shù)的運算性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)a=lgx，b=lgy，將不等式組進行轉(zhuǎn)化，利用線性規(guī)劃的知識進行求解．
（2）求出橢圓上的點與圓心的最大距離，加上半徑，即可得出P，Q兩點間的最大距離．

解答： 解：（1）設(shè)a=lgx，b=lgy，則不等式等價為

1+a-b≥0 a+b-1≤0 b≥0

，目標(biāo)函數(shù)z=2a+b，
即b=-2a+z，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線b=-2a+z，當(dāng)直線b=-2a+z經(jīng)過點A（1，0）時，直線的截距最大，此時z最大，為z=2+0=2，
即2lgx+lgy的最大值為2．
（2）設(shè)橢圓上的點為（x，y），則x²=10-10y²，
∵圓x²+（y-6）²=2的圓心為（0，6），半徑為

2

，
∴橢圓上的點與圓心的距離為

x2+(y-6)2

=

10-10y2+(y-6)2

=

-9(y+ 2 3 )2+50

≤5

2

，
∴P，Q兩點間的最大距離是5

2

+

2

=6

2

．
故答案為：（1）2；   （2）6

2

；

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想是解決此類問題的基本方法．