Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax²+4x+b，其中a、b∈R且a≠0．
（Ⅰ）求證：函數(shù)f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線與f（x）總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)與過這一點(diǎn)切線斜率的關(guān)系，求出切線的斜率，再求出f（0），從而求出切線方程．切線與函數(shù)曲線有幾個(gè)公共點(diǎn)，就看切線方程與函數(shù)f（x）形成的方程組有幾個(gè)解，所以連立方程組便能證明（1）．
對(duì)于第二問，首先要求令導(dǎo)函數(shù)等于0的解有兩個(gè)不同解，并要求只有一個(gè)根在（-1，1）上，從而求出a的范圍．

解答： 解：
（Ⅰ）f′（x）=x²+2ax+4，
∴f′（0）=4，且f（0）=b；
∴在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為：y=4x+b；
解

y=4x+b y= 1 3 x3+ax2+4x+b

得：x=0，或x=-3a；
∵a≠0，方程組有兩個(gè)不同解，
∴切線與f（x）總有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)．

（Ⅱ）
法一：f′（x）=x²+2ax+4=（x+a）²+4-a²，
根據(jù)題意可知：4-a²＜0        ①
方程x²+2ax+4=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x=-a-

a2-4

，或x=-a+

a2-4

；
∴

-1＜-a- a2-4 ＜1 -a+ a2-4 ＞1

          ②
或

-1＜-a+ a2-4 ＜1 -a- a2-4 ＜-1

          ③
∴解①得：a＜-2，或a＞2；
當(dāng)a＜-2，或a＞2時(shí)②的解是：a＜-

5

2

；
當(dāng)a＜-2，或a＞2時(shí)③的解是：a＞

5

2

．
∴a的取值范圍是：（-∞，-

5

2

）∪（

5

2

，+∞）．
法二：∵f（x）在區(qū)間（-1，1）上有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)，
∴由二次函數(shù)圖象性質(zhì)可得 f′（-1）f′（1）＜0
即（5-2a）（5+2a）＜0，
解得a＜-

5

2

或a＞

5

2

，
∴a的取值范圍是：（-∞，-

5

2

）∪（

5

2

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：要使切線與曲線有兩個(gè)不同公共點(diǎn)，只需連立形成方程組，判斷解的個(gè)數(shù)，有幾個(gè)解就有幾個(gè)公共點(diǎn)．而對(duì)于第二問，根據(jù)極點(diǎn)的定義，在極值點(diǎn)兩邊的導(dǎo)函數(shù)異號(hào)，所以f′（-1）f′（1）＜0，不等式的解便是a的取值范圍，所以可用這種方法來求a的范圍．