【題目】設(shè)三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上,是面積為的等邊三角形,,且平面平面.

1)求球的表面積;

2)證明:平面平面,且平面平面.

3)與側(cè)面平行的平面與棱,分別交于,,,求四面體的體積的最大值.

【答案】(1)(2)證明見解析(3)

【解析】

1)先取的中點(diǎn),連接.根據(jù),得出的外心為.再因?yàn)?/span>,.平面平面,平面平面,所以平面,球心.得出是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).然后求出球的半徑,則得出球的表面積為.

2)根據(jù),平面,平面,則有平面平面.再證平面平面,所以有平面,平面,即可證得平面平面.

3)先求到平面的距離.設(shè),到平面的距離為.由平面平面,得到三角形相似,則可得的面積,求出,得到到平面的距離為,則四面體的體積.轉(zhuǎn)化為函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)求得最大值.

1)解:取的中點(diǎn),連接.

因?yàn)?/span>,所以的外心為.

因?yàn)?/span>,所以.

又平面平面,平面平面,所以平面,

所以.

因?yàn)?/span>是等邊三角形,所以是線段上靠近點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn).

由題意得,解得,

所以球的半徑,的表面積為.

2)證明:因?yàn)?/span>,所以平面,

平面,所以平面平面.

連接,,又平面平面,所以平面,

平面,所以平面平面.

3)解:因?yàn)?/span>,所以到平面的距離.

設(shè),到平面的距離為.

因?yàn)槠矫?/span>平面,所以,的面積為.

,所以到平面的距離為,

所以四面體的體積.

設(shè),,

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.

所以,

即四面體的體積的最大值為.

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