Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長為2，寬為1， ， 邊分別在軸、軸的正半軸上， 點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，將矩形折疊，使點(diǎn)落在線段上，設(shè)此點(diǎn)為.

（1）若折痕的斜率為-1，求折痕所在的直線的方程；

（2）若折痕所在直線的斜率為，（ 為常數(shù)），試用表示點(diǎn)的坐標(biāo)，并求折痕所在的直線的方程；

（3）當(dāng)時(shí)，求折痕長的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；(3) .

【解析】試題分析：（1）若折痕的斜率為時(shí)，由于點(diǎn)落在線段上，可得折痕必過點(diǎn)，即可得出；（2）當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程，當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)記為，可知與關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，有，故點(diǎn)坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)即線段的中點(diǎn)為，即可得出；（3）當(dāng)時(shí)，折痕為2，當(dāng)時(shí)，折痕所在直線交于點(diǎn)，交軸于，利用兩點(diǎn)之間的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

試題解析：（1）∵折痕的斜率為時(shí)， 點(diǎn)落在線段上

∴折痕必過點(diǎn)

∴直線方程為

（2）①當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程.

②當(dāng)時(shí)，將矩形折疊后點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)記為，

則與關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，有，即．

∴點(diǎn)坐標(biāo)為

從而折痕所在的直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)即線段的中點(diǎn)為，折痕所在的直線方程，即．

綜上所述，由①②得折痕所在的直線方程為： ．

（3）當(dāng)時(shí)，折痕長為2．

當(dāng)時(shí)，折痕所在直線交于點(diǎn)，交軸于．

∵，

∴折痕長的最大值為.

∴綜上所述，折痕長度的最大值為