Question

如圖，四棱錐S一ABCD中，已知AD∥BC，∠ADC=90°，∠BAD=135°，AD=DC=

2

，SA=SC=SD=2．
（I）求證：AC⊥SD；
（Ⅱ）求SB與平面ABCD所成的角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線(xiàn)與平面所成的角,空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（I）如圖所示，作SO⊥平面ABCD，垂足為O點(diǎn)．由SA=SC=SD，可得O點(diǎn)為△ACD的外心．又∠ADC=90°．因此O點(diǎn)為斜邊AC的中點(diǎn)．利用線(xiàn)面垂直的判定定理和性質(zhì)定理即可證明．
（II）連接OB，由（I）可得：∠SBO為SB與平面ABCD所成的角．利用等邊三角形的性質(zhì)可得SO=

3

．再利用已知可得AB=AC=

2

，利用勾股定理可得BO，進(jìn)而得到∠SBO．

解答： 解：（I）如圖所示，作SO⊥平面ABCD，垂足為O點(diǎn)．
∵SA=SC=SD，∴O點(diǎn)為△ACD的外心．
∴∠ADC=90°．
∴O點(diǎn)為斜邊AC的中點(diǎn)．
∴DO⊥AC，SO⊥AC．
∵SO∩OD=O，
∴AC⊥平面SOD，
∴AC⊥SD；
（II）連接OB，由（I）可得：∠SBO為SB與平面ABCD所成的角．
∵AD=DC=

2

，∠ADC=90°．
∴∠DAC=45°=∠ACD，AC=2．
∴SO=

3

．
∵∠BAD=135°，∴∠BAC=90°，
∵BC∥AD，∴∠BCD=90°．
∴∠ACB=45°．
∴AB=AC=2．
∴OB=

AB2+AO2

=

( 2 )2+12

=

3

．
∴∠ABC=45°．
∴SB與平面ABCD所成的角為45°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線(xiàn)面垂直的判定與性質(zhì)定理、直角三角形的外心性質(zhì)、等腰直角三角形與等邊三角形的性質(zhì)，考查了推理能力和計(jì)算能力，考查了空間想象能力，屬于難題．