Question

【題目】已知點在拋物線上，且到拋物線的焦點的距離等于2.

求拋物線的方程；

若直線與拋物線相交于兩點，且為坐標原點），求證直線恒過軸上的某定點，并求出該定點坐標.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）由拋物線的定義，可知，代入即可求解拋物線的標準方程；

證明：當直線的斜率不存在時，設，求得點坐標，代入即可求解的值，當直線的斜率存在時，設直線，代入拋物線的方程，由韋達定理得到

，再由，即，根據向量的數量積的坐標運算，求得和的關系，代入直線方程，即可判定直線過定點．

試題解析：

（1）∵點在拋物線上，點到拋物線的焦點的距離等于2.

∴∴，∴拋物線的方程為

（2）證明：當直線的斜率不存在時，設與拋物線第一象限交于點，

∵，∴，代入整理得，解得，

∴故直線恒過定點

當直線的斜率存在時，設直線

聯立得

依題意有，則韋達定理可知： ①

∵， ，∴，即

將①代入化簡得，故，此時直線

直線恒過軸上的定點.