Question

求證：4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9能被20整除．

Answer 1

考點：二項式定理的應(yīng)用

專題：二項式定理

分析：利用二項式定理的展開式，4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9=4×（6ⁿ-1）+5×（5ⁿ-1）=4×[（5+1）ⁿ-1]+5×[（4+1）ⁿ-1]，問題得以解決．

解答： 解：4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9
=4×（6ⁿ-1）+5×（5ⁿ-1）
=4×[（5+1）ⁿ-1]+5×[（4+1）ⁿ-1]
=4×(

C

0 n

•50+

C

1 n

•51+…+

C

n n

•5n-1)+5×

(C

0 n

•40

+C

1 n

•41+…+

C

n n

•4n-1)
=4×5×

(C

1 n

+

C

2 n

•5+

C

3 n

•52+…+

C

n n

•5n-1)+5×4×（

C

1 n

+

C

2 n

•4

+C

3 n

•42+…

+C

n n

•4n-1）
=20×[

(C

1 n

+

C

2 n

•5+

C

3 n

•52+…+

C

n n

•5n-1)+（

C

1 n

+

C

2 n

•4

+C

3 n

•42+…

+C

n n

•4n-1）]
∴4×6ⁿ+5ⁿ⁺¹-9能被20整除．

點評：本題主要考查了二項式定理的應(yīng)用，利用展開式求證數(shù)的整除的問題，屬于中檔題．