Question

18．設函數f（x）=lg（3-x）+$\frac{1}{\sqrt{x-1}}$的定義于為A，函數g（x）=$\frac{2}{x+1}$，x∈（0，m）的值域為B．
（1）當m=2時，求A∩B；
（2）若B⊆A，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出集合A，B取交集即可；
（2）求出B，由B⊆A得1≤$\frac{2}{m+1}$＜2，解出即可．

解答 解：（1）由f（x）有意義得：
$\left\{\begin{array}{l}{3-x＞0}\\{x-1＞0}\end{array}\right.$，解得1＜x＜3．
即A=（1，3）．
∵g（x）=$\frac{2}{x+1}$在（0，2）上是減函數，
∴$\frac{2}{3}$＜g（x）＜2，
即B=（$\frac{2}{3}$，2）．
∴A∩B=（1，2）．
（2）當m≤0時，B=∅，
當m＞0時，
∵g（x）=$\frac{2}{x+1}$在（-1，+∞）上是減函數，
∴g（x）=$\frac{2}{x+1}$在（0，m）上是減函數，
∴$\frac{2}{m+1}$＜g（x）＜2．
即B=（$\frac{2}{m+1}$，2）．
∵B⊆A，
∴m≤0或1≤$\frac{2}{m+1}$＜2，
解得m≤0或0＜m≤1．
∴m的取值范圍是（-∞，1]．

點評 本題考查了函數的定義域，值域和集合運算，是基礎題．