Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)(如圖所示)，點(diǎn)在橢圓的長(zhǎng)軸上運(yùn)動(dòng)，且.設(shè)圓是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓.

（1）若，圓和橢圓在第一象限的交點(diǎn)坐標(biāo)為，求橢圓的方程；

（2）若橢圓的離心率為，過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，交橢圓于P,Q兩點(diǎn)，若直線PQ過點(diǎn)M，求m的值（用含的代數(shù)式表示）；

（3）當(dāng)圓與橢圓有且僅有點(diǎn)一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，求的運(yùn)動(dòng)范圍（用含的代數(shù)式表示）.

Answer 1

【答案】（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）先求圓的半徑，再得B坐標(biāo)，即得，根據(jù)點(diǎn)在橢圓上解得,（2）根據(jù)離心率得，根據(jù)BP⊥BQ，利用向量數(shù)量積化坐標(biāo)表示，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得結(jié)果，（3）根據(jù)題意得不等式，利用坐標(biāo)表示得，最后利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)最大值，即得結(jié)果.

（1）,則

即橢圓的方程為，

（2）因?yàn)闄E圓C的離心率為，則 ， ，

點(diǎn)，橢圓的方程為．

設(shè)直線PQ的方程為x＝ty＋m(0<m<2b)，

將x＝ty＋m代入，

得.

由題設(shè)可知Δ＝16(4b2－m2＋b2t2)＞0.

設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1＋y2＝ ，y1y2＝.

而x1＋x2＝t(y1＋y2)＋2m＝.

x1x2＝(ty1＋m)(ty2＋m)＝t2y1y2＋tm(y1＋y2)＋m2＝.

由題設(shè)BP⊥BQ，即 .

＝(x1-2b，y1)(x2-2b，y2)＝(x1-2b)(x2-2b)＋y1y2＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)

＝x1x2＋y1y2－2b(x1＋x2)＋4b2 ，

化簡(jiǎn)得5m2－16bm+12b2＝0，解得m＝2b(舍)，m＝.

所以m＝.

，

，，

，

，，

所以m的取值范圍是.