Question

已知直線kx-y-3k=0（k∈R）所經(jīng)過的定點F恰好是橢圓C的一個焦點，且橢圓C上的點到F的最小距離為2．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）已知圓O：x²+y²=1，直線：mx+ny=1，當點P（m，n）在橢圓C上運動時，直線與圓O是否相交于兩個不同的點A，B？若相交，試求弦長|AB|的取值范圍，否則說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知得y=k（x-3），所以F（3，0），根據(jù)橢圓C上的點到F的最小距離為2，結(jié)合橢圓幾何量之間的關系，即可求橢圓C的標準方程；
（2）利用圓心O到直線：mx+ny=1的距離d=

1

m2+n2

＜1=r，可得直線與圓O恒相交于兩個不同的點A、B，利用弦長公式求弦長，結(jié)合m的范圍，可求弦長|AB|的取值范圍．

解答： 解：（1）由已知得y=k（x-3），所以F（3，0）-------------------------（2分）
設橢圓方程C為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則

c=3 a-c=2 a2=b2+c2

，
解得

a=5 b=4 c=3

---------（4分）
所以橢圓方程為

x2

25

+

y2

16

=1；-------------------------------------（5分）
（2）因為點P（m，n）在橢圓C上運動，所以1=

m2

25

+

n2

16

＜m2+n2
從而圓心O到直線：mx+ny=1的距離d=

1

m2+n2

＜1=r
所以直線與圓O恒相交于兩個不同的點A、B---------------------------------（7分）
此時弦長|AB|=2

r2-d2

=2

1- 1 m2+n2

=2

1- 1 9 25 m2+16

---------------------------（9分）
由于0≤m²≤25，所以16≤

9

25

m2+16≤25，則|AB|∈[

15

2

，

4 6

5

]---------------------（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓的位置關系，考查弦長公式，考查學生的計算能力，正確運用點到直線的距離公式是關鍵．