Question

如圖，ABCD是邊長為2的正方形，DE⊥平面ABCD，AF∥DE，DE=3AF=3．
（1）求證：AC⊥平面BDE；
（2）求直線AB與平面BEF所成的角的正弦值；
（3）線段BD上是否存在點(diǎn)M，使得AM∥平面BEF？若存在，試確定點(diǎn)M的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求直線與平面的夾角,直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（1）由DE⊥平面ABCD，ABCD是正方形，能夠證明AC⊥平面BDE．
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由此能求出直線AB與平面BEF所成的角的正弦值．
（3）點(diǎn)M是線段BD上一個點(diǎn)，設(shè)M（t，t，0），由AM∥平面BEF，

AM

•

n

=0，能求出點(diǎn)M坐標(biāo)．

解答： （1）證明：∵DE⊥平面ABCD，
∴DE⊥AC．…2分
∵ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
又BD∩DE=D
從而AC⊥平面BDE．…4分
（2）解：∵DA，DC，DE兩兩垂直，
∴以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示．
∵DE=3，由AF∥DE，DE=3AF=3
得AF=1．…6分
則A（2，0，0），F(xiàn)（2，0，1），E（0，0，3），B（2，2，0），∴

BF

=(0，-2，1)，

EF

=(2，0，-2)…7分
設(shè)平面BEF的法向量為

n

=(x，y，z)，
則

n • BF =0 n • EF =0

，
∴

-2y+z=0 2x-2z=0

，令z=2，則

n

=(2，1，2)．…8分
∵

AB

=(0，2，0)
∴直線AB與平面BEF所成的角θ滿足sinθ=|cos＜

n

，

AB

＞|=

| n • AB |

| n || AB |

=

2

2×3

=

1

3

…10分
（3）解：點(diǎn)M是線段BD上一個點(diǎn)，設(shè)M（t，t，0），
則

AM

=(t-2，t，0)，
∵AM∥平面BEF，
∴

AM

•

n

=0，…11分
即2（t-2）+t=0，解得t=

4

3

．…12分
此時，點(diǎn)M坐標(biāo)為(

4

3

，

4

3

，0)．…13分．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，考查滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時要注意向量法的合理運(yùn)用．