【題目】已知函數(shù),其中.
(1)當時,求函數(shù)圖像在點處的切線;
(2)求函數(shù)的單調遞減區(qū)間;
(3)若函數(shù)的在區(qū)間的最大值為,求的值.
【答案】(1)(2)①當時,無減區(qū)間;
②當時,減區(qū)間為.
③當時,減區(qū)間為.
④當時,減區(qū)間為;
(3)
【解析】
(1)對函數(shù)進行求導,然后根據(jù)導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,最后求出切線方程即可;
(2)對函數(shù)進行求導,讓導函數(shù)為零,根據(jù)導函數(shù)為零的根的正負性、兩根之間的大小關系進行分類討論求出函數(shù)的單調區(qū)間;
(3)根據(jù)(2)中的結論,結合已知求出的值.
解:(1)時,,
,
,,
切線:.
(2)
,
①當即時,恒成立,
∴在遞增,無減區(qū)間;
②當即時,
1 | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
極大值 | 極小值 |
∴減區(qū)間為.
③當,即時,
1 | |||||
+ | 0 | - | 0 | + | |
極大值 | 極小值 |
∴減區(qū)間為.
④當即時,
1 | |||
- | 0 | + | |
極小值 |
∴減區(qū)間為.
綜上所述:
①當時,無減區(qū)間;
②當時,減區(qū)間為.
③當時,減區(qū)間為.
④當時,減區(qū)間為;
(3)由(2)問結論知,時,
在上單調遞增,∴
合題意,
由(2)知,當時,在處或處取到,
又時,且最大也不成立.
∴.
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【題目】已知圓:和定點,是圓上任意一點,線段的垂直平分線交于點,設動點的軌跡為.
(1)求的方程;
(2)過點作直線與曲線相交于,兩點(,不在軸上),試問:在軸上是否存在定點,總有?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)求函數(shù)的單調區(qū)間和函數(shù)的最值;
(2)已知關于的不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】在直角坐標系xOy中,以坐標原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù),).
(1)寫出直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程;
(2)若直線l與曲線C交于A,B兩點,直線l的傾斜角,P點坐標為,求的最小值.
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【題目】已知橢圓()的離心率為,短軸長為.
(Ⅰ)求橢圓的標準方程;
(Ⅱ)若直線與橢圓交于不同的兩點,且線段的垂直平分線過定點,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】生男生女都一樣,女兒也是傳后人.由于某些地區(qū)仍然存在封建傳統(tǒng)思想,頭胎的男女情況可能會影響生二孩的意愿,現(xiàn)隨機抽取某地200戶家庭進行調查統(tǒng)計.這200戶家庭中,頭胎為女孩的頻率為0.5,生二孩的頻率為0.525,其中頭胎生女孩且生二孩的家庭數(shù)為60.
(1)完成下列列聯(lián)表,并判斷能否有95%的把握認為是否生二孩與頭胎的男女情況有關;
生二孩 | 不生二孩 | 合計 | |
頭胎為女孩 | 60 | ||
頭胎為男孩 | |||
合計 | 200 |
(2)在抽取的200戶家庭的樣本中,按照分層抽樣的方法在頭胎生女孩家庭中抽取了5戶,進一步了解情況,在抽取的5戶中再隨機抽取3戶,求這3戶中恰好有2戶生二孩的概率.
附:
0.15 | 0.05 | 0.01 | 0.001 | |
2.072 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
(其中).
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【題目】已知拋物線的焦點為,過點的直線交拋物線于和兩點.
(1)當時,求直線的方程;
(2)若過點且垂直于直線的直線與拋物線交于兩點,記與的面積分別為,求的最小值.
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