Question

已知函數(shù)f（x）=

3

sin（ωx+φ）（ω＞0，-

π

2

≤φ≤

π

2

）的圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．
（1）求ω和φ的值；
（2）若f（

α

2

）=

3

4

（

π

6

＜α＜

2π

3

），求sinα的值．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,三角函數(shù)的化簡求值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得函數(shù)f（x）的最小正周期為π 求得ω=2．再根據(jù)圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱，結(jié)合-

π

2

≤φ＜

π

2

可得 φ 的值．
（2）由條件求得sin（α-

π

6

）=

1

4

．再根據(jù)α-

π

6

的范圍求得cos（α-

π

6

）的值，再根據(jù)cos（α+

3π

2

）=sinα=sin[（α-

π

6

）+

π

6

]，利用兩角和的正弦公式計算求得結(jié)果．

解答： 解：（1）由題意可得函數(shù)f（x）的最小正周期為π，
∴

2π

ω

=π，
∴ω=2．
再根據(jù)圖象關(guān)于直線x=

π

3

對稱，可得 2×

π

3

+φ=kπ+

π

2

，k∈z．
結(jié)合-

π

2

≤φ＜

π

2

，可得 φ=-

π

6

．
（2）∵f（

α

2

）=

3

4

（

π

6

＜α＜

2π

3

），
∴

3

sin（α-

π

6

）=

3

4

，
∴sin（α-

π

6

）=

1

4

．
再根據(jù) 0＜α-

π

6

＜

π

2

，
∴cos（α-

π

6

）=

1-sin2(α- π 6 )

=

15

4

，
∴sinα=cos（α+

3π

2

）=sin[（α-

π

6

）+

π

6

]=sin（α-

π

6

）cos

π

6

+cos（α-

π

6

）sin

π

6

=

1

4

×

3

2

+

15

4

×

1

2

=

3 + 15

8

．

點評：本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)的解析式，兩角和差的三角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．