Question

20．如圖所示，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁B₁的中點(diǎn)是P，過點(diǎn)A₁作與截面PBC₁平行的截面，則截面的面積是2$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 取AB、C₁D₁的中點(diǎn)M、N，連結(jié)A₁M、MC、CN、NA₁．由已知得四邊形A₁MCN是平行四邊形，連結(jié)MN，作A₁H⊥MN于H，由題意能求出截面的面積．

解答 解：取AB、C₁D₁的中點(diǎn)M、N，連結(jié)A₁M、MC、CN、NA₁．
由于A₁N∥PC₁∥MC且A₁N=PC₁=MC，
∴四邊形A₁MCN是平行四邊形．
又∵A₁N∥PC₁，A₁M∥BP，A₁N∩A₁M=A₁，
PC₁∩BP=P，
∴平面A₁MCN∥平面PBC₁
因此，過A₁點(diǎn)作與截面PBC₁平行的截面是平行四邊形．
又連結(jié)MN，作A₁H⊥MN于H，由于A₁M=A₁N=$\sqrt{5}$，MN=2$\sqrt{2}$，
則AH=$\sqrt{3}$．
∴${S}_{△{A}_{1}MN}$=$\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\sqrt{3}=\sqrt{6}$，
故${S}_{平行四邊形{A}_{1}MCB}$=2${S}_{△{A}_{1}MN}$=2$\sqrt{6}$．
故答案為：$2\sqrt{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查截面面積的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．