Question

10．已知函數f（x）=sinx-2$\sqrt{3}{sin^2}\frac{x}{2}$．
（I）求f（x）的最小正周期及單調遞增區(qū)間；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間$[{0，\frac{2π}{3}}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）由三角函數公式化簡可得f（x）=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$，可得周期，解$2kπ-\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得f（x）的遞增區(qū)間；
（2）由x的范圍可得$\frac{π}{3}≤x+\frac{π}{3}≤π$，結合解析式可得其最值．

解答 解：（1）由三角函數公式化簡可得f（x）=sinx-2$\sqrt{3}{sin^2}\frac{x}{2}$
=sinx-2$\sqrt{3}$•$\frac{1-cosx}{2}$=sinx+$\sqrt{3}$cosx-$\sqrt{3}$=2sin（x+$\frac{π}{3}$）-$\sqrt{3}$
∴f（x）的最小正周期T=2π，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤x+\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$可得$2kπ-\frac{5π}{6}≤x≤2kπ+\frac{π}{6}$，
∴f（x）的遞增區(qū)間為$[{2kπ-\frac{5π}{6}，2kπ+\frac{π}{6}}]$（k∈Z）；
（2）∵$0≤x≤\frac{2π}{3}$，∴$\frac{π}{3}≤x+\frac{π}{3}≤π$．
當$x+\frac{π}{3}=π$即$x=\frac{2π}{3}$時，f（x）在區(qū)間$[0，\frac{2π}{3}]$上取得最小值，
∴代入計算可得f（x）的最小值為$f（\frac{2π}{3}）=-\sqrt{3}$；
當$x+\frac{π}{3}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{6}$時，f（x）在區(qū)間$[0，\frac{2π}{3}]$上取得最大值，
∴代入計算可得f（x）的最大值為$f（\frac{π}{6}）=2-\sqrt{3}$．

點評 本題考查三角函數的最值，涉及三角函數的周期性和單調性，屬基礎題．