【題目】已知函數(shù)f(x)=ax+ (a∈R)g(x)=lnx.
(1)若對任意的實數(shù)a,函數(shù)f(x)與g(x)的圖象在x=x0處的切線斜率總相等,求x0的值;
(2)若a>0,對任意x>0,不等式f(x)﹣g(x)≥1恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

【答案】
(1)解:∵ ,g(x)=lnx,

∴f′(x)=a+ ,g′(x)= ,

由題設(shè)知x0>0,且f′(x0)=g′(x0),即a+ =

∴a ﹣x0+1﹣a=0,即a( ﹣1)+(1﹣x0)=0

∵上式對任意實數(shù)a恒成立,

,解得x0=1,

故x0=1;


(2)解:∵ ,g(x)=lnx,

∴f(x)﹣g(x)≥1,即ax+

令h(x)=ax+ ,則h(x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,

又h′(x)=a+ = = (x>0,a>0),

①若0<a≤ ,則﹣1+

∴當(dāng)x∈(0,1)時,h′(x)>0,

則h(x)在(0,1)單調(diào)遞增,

∴h(x)<h(1)=2a﹣1≤0,

這與h(x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立矛盾,

故0<a≤ 不符合題意;

②若 <a<1,則0 ,

∴當(dāng)x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,

則h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

∴h(x)>h(1)=2a﹣1,

而h(1)=2a﹣1<1,

這與h(x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立矛盾,

<a<1不符合題意;

③若a≥1,則﹣1+ ,

∴當(dāng)x∈(0,1)時,h′(x)<0,當(dāng)x∈(1,+∞)時,h′(x)>0,

則h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,

∴h(x)min=h(1)=2a﹣1≥1,即h(x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,

∴a≥1符合題意.

綜合①②③,實數(shù)a的取值范圍是[1,+∞)


【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,分別求出f(x)和g(x)在x=x0處的切線的斜率,則有f′(x0)=g′(x0)對任意實數(shù)a總成立,從而列出關(guān)于x0的方程,求解即可得答案;(2)將不等式f(x)﹣g(x)≥1等價表示為ax+ ,令h(x)=ax+ ,求出導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)的正負,確定函數(shù)h(x)的單調(diào)性,判斷出h(x)的取值范圍,從而得到實數(shù)a的取值范圍.

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0

0

5

0

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)將圖象上所有點向左平行移動 個單位長度,得到的圖

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