Question

【題目】已知正整數(shù)，設(shè)長(zhǎng)方形的邊長(zhǎng)，，邊、、上的點(diǎn)，…，，，…，，，，，…，分別滿(mǎn)足，， ．

（1）對(duì)于，2，…，，求與、與的交點(diǎn)所在的二次曲線(xiàn)的方程；

（2）若的延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，，…，滿(mǎn)足，對(duì)于，2，…，，求與的交點(diǎn)所在的二次曲線(xiàn)的方程；

（3）設(shè)在二次曲線(xiàn)上到的距離最大的點(diǎn)為，求與二次曲線(xiàn)上的點(diǎn)的距離的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）以下底為軸、的中垂線(xiàn)為軸建立平面直角坐標(biāo)系．

設(shè)、交于點(diǎn)，、在上的投影分別為、，并設(shè)．

由∽，∽，

有，．

兩式相乘得點(diǎn)滿(mǎn)足的二次曲線(xiàn)的方程為．

（2）同理，、的交點(diǎn)也在橢圓上．

設(shè)、交于點(diǎn)，、在直線(xiàn)上的投影分別為、，并設(shè)．

由∽，∽，

有，．

兩式相乘得點(diǎn)滿(mǎn)足的二次曲線(xiàn)的方程為．

（3）不妨設(shè)．

考慮以為圓心、為半徑的圓，與相切時(shí)的半徑即為所求的最小值．

設(shè)的方程為，與的方程聯(lián)立并消去，得

．

由，得．

因此，所求最小值為．