Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥AD，AD=

1

2

BC=

3

，PC=

5

，AD∥BC，AB=AC，∠BAD=150°，∠PDA=30°．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）在線段PD上是否存在一點F，使直線CF與平面PBC成角正弦值等于

1

4

？若存在，指出F點位置；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）取線段BC中點E，連結(jié)AE．由已知條件推導(dǎo)出AE⊥BC，PA⊥AC．由此能證明PA⊥平面ABCD．
（2）以A為坐標原點，以AE，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出點F是線段PD的中點，使直線CF與平面PBC成角正弦值等于

1

4

．

解答： （1）證明：取線段BC中點E，連結(jié)AE．
因為AD=

3

，∠PDA=30°，所以PA=1．
因為AD∥BC，∠BAD=150°所以∠B=30°．
又因為AB=AC，所以AE⊥BC，而BC=2

3

，
所以AC=AB=

BE

cos30°

=2．
因為PC=

5

，所以PC²=PA²+AC²，即PA⊥AC．
因為PA⊥AD，且AD，AC?平面ABCD，AD∩AC=A，
所以PA⊥平面ABCD．
（2）解：以A為坐標原點，以AE，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸，
建立空間直角坐標系如圖所示，
則P（0，0，1），B(1，-

3

，0)，
C(1，

3

，0)，D(0，

3

，0)．
設(shè)F（x₁，y₁，z₁），因為點F在線段PD上，
設(shè)

PF

=λ

PD

，則

x1=0 y1= 3 λ z1=1-λ

（0＜λ≤1）．
即F(0，

3

λ，1-λ)，
所以

FC

=(1，

3

-

3

λ，λ-1)．
設(shè)平面PBC的法向量為

u

=(x，y，z)，
則

u

•

PB

=0，

u

•

BC

=0，所以

x- 3 y-z=0 2 3 y=0

，
所以

u

=(1，0，1)．
因為直線CF與平面PBC成角正弦值等于

1

4

，
所以

| FC • u |

| FC |×| u |

=

1

4

．
所以

|λ|

2 × 1+4(λ-1)2

=

1

4

，即λ=

1

2

．
所以點F是線段PD的中點．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查滿足條件的點的位置關(guān)系的判定，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．