Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為、.

（1）求以為焦點(diǎn)，原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)方程；

（2）若橢圓上點(diǎn)滿(mǎn)足，求的縱坐標(biāo)；

（3）設(shè)，若橢圓上存在兩個(gè)不同點(diǎn)、滿(mǎn)足，證明：直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn).

【解析】

(1)由橢圓方程可求出左焦點(diǎn)的坐標(biāo),由此可求出拋物線(xiàn)的方程;

(2)根據(jù)橢圓定義以及余弦定理可求出,再根據(jù)面積關(guān)系列式可求得結(jié)果;

(3)聯(lián)立直線(xiàn),與拋物線(xiàn)方程,消去得到關(guān)于的一元二次方程,根據(jù)韋達(dá)定理得到兩根之和與兩根之積,再根據(jù)向量相乘為0列式可解得,從而可得.

(1)在橢圓中,,,所以,

所以,所以,

所以在拋物線(xiàn)中,所以,

所以以為焦點(diǎn)，原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線(xiàn)方程為:,即.

(2)設(shè),,,

在三角形中,,

由余弦定理得:,

所以得,

得,又,

所以,

所以,

即,

解得:,所以;

(3)直線(xiàn)的斜率顯然存在,設(shè)直線(xiàn)的方程為:,

聯(lián)立 ,消去并整理得:,

設(shè),,

則,即,

,,

因?yàn)?/span>,

所以,

所以,

所以,

所以,

化簡(jiǎn)得:,

因?yàn)?/span>,所以,

所以直線(xiàn) :過(guò)定點(diǎn).