Question

16．求方程組$\left\{\begin{array}{l}{x\sqrt{yz}+y\sqrt{xz}=39-xy}\\{y\sqrt{xz}+z\sqrt{xy}=52-yz}\\{z\sqrt{xy}+x\sqrt{yz}=78-xz}\end{array}\right.$的正數(shù)解．

Answer 1

分析 設(shè)$\sqrt{xy}$=s，$\sqrt{yz}$=t，$\sqrt{xz}$=u，只考慮x，y，z＞0d的情況．化為xy=s²，yz=t²，xz=u²，x=$\frac{su}{t}$，y=$\frac{st}{u}$，z=$\frac{tu}{s}$，于是原方程組化為：$\left\{\begin{array}{l}{su+st=39-{s}^{2}}\\{st+tu=52-{t}^{2}}\\{tu+su=78-{u}^{2}}\end{array}\right.$，可得s+t+u=13．代入上述方程組解得：t=4，u=6，s=3．進(jìn)而解出．

解答 解：設(shè)$\sqrt{xy}$=s，$\sqrt{yz}$=t，$\sqrt{xz}$=u，只考慮x，y，z＞0d的情況．
則xy=s²，yz=t²，xz=u²，x=$\frac{su}{t}$，y=$\frac{st}{u}$，z=$\frac{tu}{s}$，
∴原方程組化為：$\left\{\begin{array}{l}{su+st=39-{s}^{2}}\\{st+tu=52-{t}^{2}}\\{tu+su=78-{u}^{2}}\end{array}\right.$，
∴（s+t+u）²=169，解得s+t+u=13．
代入上述方程組解得：t=4，u=6，s=3．
∴$\left\{\begin{array}{l}{xy=9}\\{yz=16}\\{xz=36}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{2}}\\{y=2}\\{z=8}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“換元法”解方程組、乘法公式的應(yīng)用，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．