Question

已知橢圓的右焦點F與拋物線y²=4x的焦點重合，短軸長為2．橢圓的右準線l與x軸交于E，過右焦點F的直線與橢圓相交于A、B兩點，點C在右準線l上，BC∥x軸．
（1）求橢圓的標準方程，并指出其離心率；
（2）求證：線段EF被直線AC平分．

Answer 1

【答案】分析：（1）先設(shè)出橢圓的標準方程，根據(jù)拋物線的方程求得其焦點坐標，進而求得橢圓的c，短半軸b求得a，則橢圓的方程和離心率可得．
（2）根據(jù)（1）中的橢圓方程求得其準線l的方程，求得點E的坐標，設(shè)EF的中點為M，則M的坐標可得，先看當AB垂直于x軸，則設(shè)出點A，B，C的坐標，求得AC中點的坐標，判斷出線段EF的中點與AC的中點重合；再看AB不垂直于x軸，則可設(shè)直線AB的方程與橢圓方程聯(lián)立消去y，根據(jù)韋達定理表示出x₁+x₂和x₁x₂的表達式，可表示出AM和CM的斜率，求得二者相等，進而推斷出A、M、C三點共線，即AC過EF的中點M，最后綜合證明題設(shè)．
解答：解：（1）由題意，可設(shè)橢圓的標準方程為（a＞b＞0）
∵y²=4x的焦點為F（1，0）
∴c=1，又2b=2，
∴b=1，a²=b²+c²=2，
所以，橢圓的標準方程為
其離心率為e=
（2）證明：∵橢圓的右準線1的方程為：x=2，
∴點E的坐標為（2，0）設(shè)EF的中點為M，則M（，0）
若AB垂直于x軸，則A（1，y₁），B（1，-y₁），C（2，-y₁）
∴AC的中點為N（，0）
∴線段EF的中點與AC的中點重合，
∴線段EF被直線AC平分，
若AB不垂直于x軸，則可設(shè)直線AB的方程為
y=k（x-1），k≠0，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則C（2，-y₂）
把y=k（x-1）代入
得（1+2k²）x²-4k²x+2（k²-1）=0
則有x₁+x₂=，x₁x₂=
∴k_AM=
=，k_CM=，
∵k_AM-k_CM=
=
∴k_AM=k_CM
∴A、M、C三點共線，即AC過EF的中點M，
∴線段EF被直線AC平分．
點評：本題主要考查了圓錐曲線的綜合運用．考查了學生綜合分析問題和分類討論思想的運用．屬中檔題．