Question

已知函數(shù)f（x）=k（x-1）e^x+x²．
（Ⅰ）當(dāng)時(shí)k=-

1

e

，求函數(shù)f（x）在點(diǎn)（1，1）處的切線方程；
（Ⅱ）若在y軸的左側(cè)，函數(shù)g（x）=x²+（k+2）^x的圖象恒在f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）圖象的上方，求k的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)k≤-l時(shí)，求函數(shù)f（x）在[k，1]上的最小值m．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）k=-

1

e

時(shí)，f（x）=-

1

e

（x-1）e^x+x²，得f′（x）=x（2-e^x-1 ），從而求出函數(shù)f（x）在（1，1）處的切線方程；
（Ⅱ）f′（x）=kx（e^x+

2

k

）＜x²+（k+2）x，即：kxe^x-x²-kx＜0，令h（x）=ke^x-x-k，討論當(dāng)k≤0時(shí)，當(dāng)0＜k≤1時(shí)，當(dāng)k＞1時(shí)，從而綜合得出k的范圍；
（Ⅲ）f′（x）=kx（e^x+

2

k

），令f′（x）=0，得：x₁=0，x₂=ln（-

2

k

），令g（k）=ln（-

2

k

）-k，則g′（k）=-

1

k

-1≤0，得g（k）在k=-1時(shí)取最小值g（-1）=1+ln2＞0，討論當(dāng)-2＜k≤-1時(shí)，當(dāng)k=-2時(shí)，當(dāng)k＜-2時(shí)的情況，從而求出m的值．

解答： 解：（Ⅰ）k=-

1

e

時(shí)，f（x）=-

1

e

（x-1）e^x+x²，
∴f′（x）=x（2-e^x-1 ），∴f′（1）=1，f（1）=1，
∴函數(shù)f（x）在（1，1）處的切線方程為y=x，
（Ⅱ）f′（x）=kx（e^x+

2

k

）＜x²+（k+2）x，
即：kxe^x-x²-kx＜0，
∵x＜0，∴ke^x-x-k＞0，
令h（x）=ke^x-x-k，
∴h′（x）=ke^x-1，
當(dāng)k≤0時(shí)，h（x）在x＜0時(shí)遞減，h（x）＞h（0）=0，符合題意，
當(dāng)0＜k≤1時(shí)，h（x）在x＜0時(shí)遞減，h（x）＞h（0）=0，符合題意，
當(dāng)k＞1時(shí)，h（x）在（-∞，-lnk）遞減，在（-lnk，0）遞增，
∴h（-lnk）＜h（0）=0，不合題意，
綜上：k≤1．
（Ⅲ）f′（x）=kx（e^x+

2

k

），
令f′（x）=0，解得：x₁=0，x₂=ln（-

2

k

），
令g（k）=ln（-

2

k

）-k，則g′（k）=-

1

k

-1≤0，
g（k）在k=-1時(shí)取最小值g（-1）=1+ln2＞0，
∴x₂=ln（-

2

k

）＞k，
當(dāng)-2＜k≤-1時(shí)，x₂=ln（-

2

k

）＞0，
f（x）的最小值為m=min{f（0），f（1）}=min{-k，1}=1，
當(dāng)k=-2時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[k，1]上遞減，m=f（10=1，
當(dāng)k＜-2時(shí)，f（x）的最小值為m=min{f（x₂ ），f（1）}，
f（x₂ ）=-2[ln（-

2

k

）-1]+[ln（-

2

k

）]²=x22-2x₂+2＞1，f（1）=1，
此時(shí)m=1，
綜上：m=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查參數(shù)的取值，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．