Question

已知函數(shù)f（x）=e^x（e為自然對數(shù)的底），g（x）=ln（f（x）+a）（a為常數(shù)），g（x）是實數(shù)集R上的奇函數(shù)．
（1）求證：f（x）≥x+1（x∈R）；
（2）討論關(guān)于x的方程：lng（x）=g（x）•（x²-2ex+m）（m∈R）的根的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）證明：設(shè)F（x）=f（x）-x-1，則F′（x）=e^x-1，得F（x）_min=F（0）=0，從而F（x）≥0，即f（x）≥x+1；
（2）由方程為lnx=x（x²-2ex+m），得

lnx

x

=x²-2ex+m，設(shè)h（x）=

lnx

x

，得h（x）≤h（e）=

1

e

；設(shè)l（x）=x²-2ex+m，則l（x）≥e²-2e²+m=m-e²，進而得①m＞e²+

1

e

時，原方程無解，
②m=e²+

1

e

時，方程有且只有一個根x=e，③m＜e²+

1

e

時，方程兩個根．

解答： （1）證明：設(shè)F（x）=f（x）-x-1，則F′（x）=e^x-1，
∵x∈（-∞，0）時，F(xiàn)′（x）＜0，
x∈（0，+∞）時，F(xiàn)′（x）＞0，
∴F（x）_min=F（0）=0，
∴F（x）≥0，即f（x）≥x+1；
（2）解：∵g（x）是R上的奇函數(shù)，∴a=0，g（x）=x，
∴方程為lnx=x（x²-2ex+m），即

lnx

x

=x²-2ex+m，
設(shè)h（x）=

lnx

x

，則由h′（x）=

1-lnx

x2

=0，解得：x=e，
又x∈（0，e）時，h′（x）＞0，x∈（e，+∞）時，h′（x）＜0，
∴h（x）≤h（e）=

1

e

；
設(shè)l（x）=x²-2ex+m，則l（x）≥e²-2e²+m=m-e²，
∴①m＞e²+

1

e

時，原方程無解，
②m=e²+

1

e

時，方程有且只有一個根x=e，
③m＜e²+

1

e

時，方程兩個根．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查不等式的證明，導數(shù)的應用，是一道綜合題．