Question

【理科】雙曲線

x2

4

-y2=1與直線y=kx+1有唯一公共點(diǎn)，則k值為（　　）

• A、

  2

  2

• B、-

  2

  2

• C、±

  2

  2

• D、±

  2

  2

  或±

  1

  2

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,分類討論,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：聯(lián)立雙曲線

x2

4

-y2=1與直線y=kx+1，化為（1-4k²）x²-8kx-8=0．分類討論：當(dāng)1-4k²=0時(shí)，可得k=±

1

2

，此時(shí)直線l與雙曲線的漸近線平行，滿足題意；當(dāng)1-4k²≠0時(shí)，由直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得△=0，解出即可．

解答： 解：聯(lián)立雙曲線

x2

4

-y2=1與直線y=kx+1，化為（1-4k²）x²-8kx-8=0．
①當(dāng)1-4k²=0時(shí)，可得k=±

1

2

，此時(shí)直線l的方程為y=±

1

2

x+1，分別與等軸雙曲線的漸近線平行，此時(shí)直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意；
②當(dāng)1-4k²≠0時(shí)，由直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，可得△=64k²+32（1-4k²）=0，解得k=±

2

2

．此時(shí)滿足條件．
綜上可得：k=±

1

2

，或k=±

2

2

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與雙曲線的位置關(guān)系及其性質(zhì)、一元二次方程與△的關(guān)系、分類討論等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題．