Question

在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且

m

=（a，b），

n

=（sinB，-cosA），且

m

•

n

=0．
（1）求內(nèi)角A的大��；
（2）若a=10，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦定理

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出關(guān)系式，再利用正弦定理化簡(jiǎn)，根據(jù)sinB不為0求出tanA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，cosA的值代入，利用基本不等式求出bc的最大值，即可確定出三角形ABC面積的最大值．

解答： 解：（1）∵

m

=（a，b），

n

=（sinB，-cosA），且

m

•

n

=0，
∴asinB-bcosA=0，
∴由正弦定理得sinAsinB-sinBcosA=0，
∵0＜B＜π，∴sinB≠0，
∴sinA=cosA，即tanA=1，
∵0＜A＜π，
∴A=

π

4

；
（2）∵a=10，cosA=

2

2

，
∴由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA=10²，即b²+c²-

2

bc=100，
∵b²+c²≥2bc，
∴100+

2

bc≥2bc，
∴100≥（2-

2

）bc，即bc≤

100

2- 2

，
∵S=

1

2

bcsinA=

2

4

bc≤

2

4

×

100

2- 2

=25（

2

+1），
∴當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，△ABC面積有最大值，最大值為25（

2

+1）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，三角形的面積公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．