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已知橢圓的焦距為2，且過點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左右焦點分別為，，過點的直線與橢圓C交于兩點.
①當直線的傾斜角為時，求的長；
②求的內切圓的面積的最大值，并求出當的內切圓的面積取最大值時直線的方程.

（1）橢圓C的方程為；（2）（1）的長為；（2）當的內切圓的面積取最大值時直線的方程為.

解析試題分析：（1）由已知得，且，聯立可求得橢圓方程；
（2）（1）聯立橢圓與直線方程，由弦長公式可直接求出的長；（2）設直線的方程為，與橢圓方程聯立消去，得，而；
利用均值不等式和函數單調性的性質可得當時，有最大值3，這時的內切圓面積的最大值為，直線的方程為.
試題解析：（1）由已知，得，且，解得，
故橢圓C的方程為；                                4分
（2）①由，消去得，             6分
則；                                9分
②設直線的方程為，由，得，顯然，
設，則有，
設的內切圓半徑為，由可知，
當最大時，也最大，的內切圓面積也最大.
由      12分
令，則，且，則，
令，則，從而在區(qū)間上單調遞增，故有
所以，即當，時，有最大值3，即，
這時的內切圓面積的最大值為，直線的方程為.          14分
考點：橢圓的基本性質、直線與橢圓的位置關系、函數與方程思想.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓經過點，一個焦點為．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線與軸交于點，與橢圓交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，求的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，焦點F的坐標為(1，0)．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)設M、N是拋物線C的準線上的兩個動點，且它們的縱坐標之積為－4，直線MO、NO與拋物線的交點分別為點A、B，求證：動直線AB恒過一個定點．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知Rt△AOB的三個頂點都在拋物線y2＝2px上，其中直角頂點O為原點，OA所在直線的方程為y＝x，△AOB的面積為6，求該拋物線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的兩焦點在軸上, 且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成斜邊長為2的等腰直角三角形
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的動直線交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點Q，使得以AB為直徑的圓恒過點Q?若存在求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，F1、F2是橢圓＝1(a>b>0)的左、右焦點，點M在x軸上，且＝，過點F2的直線與橢圓交于A、B兩點，且AM⊥x軸，·＝0.

(1)求橢圓的離心率；
(2)若△ABF1的周長為，求橢圓的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)的離心率為，F為橢圓的右焦點，M、N兩點在橢圓C上，且＝λ(λ＞0)，定點A(－4，0)．
(1)求證：當λ＝1時，⊥；
(2)若當λ＝1時，有·＝，求橢圓C的方程．.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(-,0),(,0),離心率是.直線y=t與橢圓C交于不同的兩點M,N,以線段MN為直徑作圓P,圓心為P.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標;
(3)設Q(x,y)是圓P上的動點,當t變化時,求y的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

雙曲線C與橢圓＝1有相同的焦點，直線y＝x為C的一條漸近線．求雙曲線C的方程．

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