已知橢圓的兩焦點在軸上, 且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成斜邊長為2的等腰直角三角形
（1）求橢圓的方程；
（2）過點的動直線交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點Q，使得以AB為直徑的圓恒過點Q?若存在求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由

（1）橢圓方程為；（2）存在定點，使以AB為直徑的圓恒過點 

解析試題分析：（1）由橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,等腰直角三角形斜邊長為2，即，故，由此可得橢圓方程 （2）首先考慮與坐標軸平行的特殊情況，當與x軸平行時，以AB為直徑的圓的方程為；當與y軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為，解方程組求出這兩個圓的交點：
若存在定點Q,則Q的坐標只可能為 
接下來就一般情況證明為所求 設直線，則，將與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理得：，代入上式證明其等于0即可
試題解析：（1）由橢圓兩焦點與短軸的一個端點的連線構成等腰直角三角形,
又斜邊長為2,即故,
橢圓方程為                                  （4分）
（2）當與x軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為;
當與y軸平行時,以AB為直徑的圓的方程為
,故若存在定點Q,則Q的坐標只可能為    （6分）
下證明為所求:
若直線斜率不存在,上述已經證明 設直線,
,
,                           （8分）

       （10分）

,即以AB為直徑的圓恒過點                  （13分）
注: 此題直接設,得到關于的恒成立問題也可求解
考點：直線與圓錐曲線

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的離心率為，右焦點為(，0)．
(1)求橢圓的方程；  
(2)若過原點作兩條互相垂直的射線，與橢圓交于，兩點，求證：點到直線的距離為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，M、N分別是橢圓＝1的頂點，過坐標原點的直線交橢圓于P、A兩點，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連結AC，并延長交橢圓于點B，設直線PA的斜率為k.

(1)若直線PA平分線段MN，求k的值；
(2)當k＝2時，求點P到直線AB的距離d；
(3)對任意k>0，求證：PA⊥PB..

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓＝1(a＞b＞0)的離心率為，短軸的一個端點為M(0，1)，直線l：y＝kx－與橢圓相交于不同的兩點A、B.
(1)若AB＝，求k的值；
(2)求證：不論k取何值，以AB為直徑的圓恒過點M.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

拋物線y2＝2px的準線方程為x＝－2，該拋物線上的每個點到準線x＝－2的距離都與到定點N的距離相等，圓N是以N為圓心，同時與直線l1：y＝x和l2：y＝－x相切的圓，
(1)求定點N的坐標；
(2)是否存在一條直線l同時滿足下列條件：
①l分別與直線l1和l2交于A、B兩點，且AB中點為E(4，1)；
②l被圓N截得的弦長為2.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的焦距為2，且過點.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左右焦點分別為，，過點的直線與橢圓C交于兩點.
①當直線的傾斜角為時，求的長；
②求的內切圓的面積的最大值，并求出當的內切圓的面積取最大值時直線的方程.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＝1(a>b>0)，點A、B分別是橢圓C的左頂點和上頂點，直線AB與圓G：x2＋y2＝(c是橢圓的半焦距)相離，P是直線AB上一動點，過點P作圓G的兩切線，切點分別為M、N.

(1)若橢圓C經過兩點、，求橢圓C的方程；
(2)當c為定值時，求證：直線MN經過一定點E，并求·的值(O是坐標原點)；
(3)若存在點P使得△PMN為正三角形，試求橢圓離心率的取值范圍．.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知橢圓＝1(a＞b＞0)，點P在橢圓上．
(1)求橢圓的離心率；
(2)設A為橢圓的左頂點，O為坐標原點．若點Q在橢圓上且滿足AQ＝AO，求直線OQ的斜率的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

設橢圓C1:+=1(a>b>0),拋物線C2:x2+by=b2.

(1)若C2經過C1的兩個焦點,求C1的離心率;
(2)設A(0,b),Q（3,b）,又M,N為C1與C2不在y軸上的兩個交點,若△AMN的垂心為B（0,b）,且△QMN的重心在C2上,求橢圓C1和拋物線C2的方程.

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