【題目】已知e是自然對數(shù)的底數(shù),實數(shù)a是常數(shù),函數(shù)f(x)=ex-ax-1的定義域為(0,+∞).
(1)設(shè)a=e,求函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程;
(2)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

【答案】
(1)解:∵a=e,∴f(x)=ex-ex-1,f′(x)=ex-e,f(1)=-1,f′(1)=0.∴當(dāng)a=e時,函數(shù)f(x)的圖象在點(1,f(1))處的切線方程為y=-1.
(2)解:∵f(x)=ex-ax-1,∴f′(x)=ex-a.
易知f′(x)=ex-a在(0,+∞)上單調(diào)遞增.
∴當(dāng)a≤1時,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
當(dāng)a>1時,由f′(x)=ex-a=0,得x=lna,
∴當(dāng)0<x<lna時,f′(x)<0,當(dāng)x>lna時,f′(x)>0,
∴f(x)在(0,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.
綜上,當(dāng)a≤1時,f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增;當(dāng)a>1時,f(x)在(0,lna)上單調(diào)遞減,在(lna,+∞)上單調(diào)遞增.
【解析】(1)首先求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),把點的坐標(biāo)代入到導(dǎo)函數(shù)的解析式求出函數(shù)值即為原函數(shù)的切線的斜率,再由直線的點斜式求出方程即可。(2) 首先求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),對a分情況討論得出導(dǎo)函數(shù)在指定區(qū)間上的正負(fù)情況進而得出原函數(shù)的單調(diào)性即可。

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