Question

13．已知等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)為和S_n，且a₃-3a₂=0，S₂=12，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，b_n+1-b_n=2．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)a_n和b_n；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前N項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式求得a_n，由等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式得到b_n；
（2）利用錯位相減法求得數(shù)列{c_n}的前N項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的公比為q，
∵a₃-3a₂=0，S₂=12，
∴a₁q²-3a₁q=0，a₁+a₁q=12，
解得q=3，a₁=3，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，
∴a_n=3ⁿ．           
∵b_n+1-b_n=2，即數(shù)列{b_n}是以2為公差的等差數(shù)列，
又b₁=1，
∴b_n=2n-1；
（2）∵c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ
∵T_n=1×3+3×3²+5×3³+…+（2n-3）3^n-1+（2n-1）3ⁿ，
∴3T_n=1×3²+3×3³+5×3⁴+…+（2n-3）3ⁿ+（2n-1）3ⁿ⁺¹，
兩式相減得：-2T_n=3+2×（3²+3³+3⁴+…+3ⁿ）-（2n-1）3ⁿ⁺¹
=-6-2（n-1）3ⁿ⁺¹，
∴T_n=3+（n-1）3ⁿ⁺¹．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解，利用錯位相減求和法是解決本題的關(guān)鍵．