Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）滿足f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
（1）求證：f（1）=0；
（2）求證．f（xⁿ）=nf（x）（n∈N）

Answer 1

分析 （1）利用賦值法令x=y=1，進行化簡即可．
（2）利用數(shù)學歸納法進行證明．

解答 證明：（1）令x=y=1得f（1）=f（1）-f（1）=0，
即f（1）=0；
（2）∵函數(shù)f（x）滿足f（$\frac{x}{y}$）=f（x）-f（y）．
∴函數(shù)f（x）滿足f（$\frac{x}{y}$）+f（y）=f（x）．
即f（x）+f（y）=f（xy）成立．
利用數(shù)學歸納法
 當n=1時，f（x）=f（x）顯然成立，
假設(shè)當n=k時成立，則f（x^k）=kf（x），
則當n=k+1時，
f（xⁿ⁺¹）=f（xⁿ•x）=f（xⁿ）+f（x）=kf（x）+f（x）=（k+1）f（x），
綜上f（xⁿ）=nf（x）（n∈N）恒成立．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應用，利用賦值法和數(shù)學歸納法是解決本題的關(guān)鍵．