Question

【題目】如圖，多面體中, 兩兩垂直，平面平面，平面平面， .

（1）證明四邊形是正方形；

（2）判斷點(diǎn)是否四點(diǎn)共面，并說(shuō)明為什么？

（3）連結(jié)，求證： 平面．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）共面，見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）要證明四邊形是一個(gè)正方形，首先證明四邊形是一個(gè)平行四邊形，這里應(yīng)用兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理，再根據(jù)一對(duì)鄰邊相等，得到正方形．
（2）要判斷四點(diǎn)共面，只要判斷三點(diǎn)共面，再證明第四個(gè)點(diǎn)在平面上，或者是證明四點(diǎn)在兩條平行的直線上，選擇后者，進(jìn)行證明．
（3）要證明限于面垂直只要證明這條線與平面上的兩條相交直線垂直，解題的關(guān)鍵是找出這兩條線，選擇了BG和BD這兩條相交直線，得到結(jié)論．

試題解析：

證明：（1），

同理AD∥BE，

則四邊形ABED是平行四邊形．

又AD⊥DE，AD=DE，

∴四邊形ABED是正方形

（2）取DG中點(diǎn)P，連接PA，PF．

在梯形EFGD中，FP∥DE且FP=DE．

又AB∥DE且AB=DE，∴AB∥PF且AB=PF

∴四邊形ABFP為平行四邊形，

∴AP∥BF

在梯形ACGD中，AP∥CG，∴BF∥CG，

∴B，C，F(xiàn)，G四點(diǎn)共面

（3）同（1）中證明方法知四邊形BFGC為平行四邊形．

且有AC∥DG、EF∥DG，從而AC∥EF，

∴EF⊥AD，BE∥AD

又BE=AD=2、EF=1故，而，

故四邊形BFGC為菱形，CF⊥BG

又由AC∥EF且AC=EF知CF∥AE．

正方形ABED中，AE⊥BD，故CF⊥BD．