Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=2x|x-a|+b（a＜0，b∈R），g（x）=x+1．
（1）討論f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，求函數(shù)h（x）=f（x）+b|g（-x）|在區(qū)間[-1，1]上的最小值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)f（x）=2x|x-a|+b=$\left\{\begin{array}{l}{2x（x-a）+b，x≥a}\\{2x（a-x）+b，x＜a}\end{array}\right.$，∵a＜0，∴$\frac{a}{2}$＜0．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)、分類(lèi)討論可得f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，由-1≤x≤1，可得函數(shù)h（x）=f（x）+b|g（-x）|=2${（x-\frac{b-2}{2}）}^{2}$+b-$\frac{{（b-2）}^{2}}{2}$，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)、分類(lèi)討論可得f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2x|x-a|+b=$\left\{\begin{array}{l}{2x（x-a）+b，x≥a}\\{2x（a-x）+b，x＜a}\end{array}\right.$，∵a＜0，∴$\frac{a}{2}$＜0．
當(dāng)$\frac{a}{2}$≤-1，即a≤-2時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)遞增；
當(dāng)$\frac{a}{2}$∈（-1，0），即 a∈（-2，0）時(shí)，函數(shù)f（x）在[-1，$\frac{a}{2}$）上單調(diào)遞減；f（x）在[$\frac{a}{2}$，1]上單調(diào)遞增．
（2）當(dāng)a=-1時(shí)，∵-1≤x≤1，∴函數(shù)h（x）=f（x）+b|g（-x）|=2x|x+1|+b|1-x|=2x（x+1）+b-bx=2x²+（2-b）x+b=2${（x-\frac{b-2}{2}）}^{2}$+b-$\frac{{（b-2）}^{2}}{2}$，
當(dāng)$\frac{b-2}{2}$＜-1，即b＜0時(shí)，h（x）的最小值為h（-1）=2b；
當(dāng)-1≤$\frac{b-2}{2}$≤1，即0≤b≤4時(shí)，h（x）的最小值為h（$\frac{b-2}{2}$）=b-$\frac{{（b-2）}^{2}}{2}$；
當(dāng)$\frac{b-2}{2}$＞1，即b＞4時(shí)，h（x）的最小值為h（1）=4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查帶有絕對(duì)值的函數(shù)，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．