【題目】直角坐標系xoy中,橢圓的離心率為,過點.
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點P(2,1),直線與橢圓C相交于A,B兩點,且線段AB被直線OP平分.
①求直線的斜率;②若,求直線的方程.
【答案】(1) .
(2) ①直線的斜率為除以外的任意實數(shù).
②.
【解析】分析:(1)由離心率條件得,然后將點.代入原式得到第二個方程,聯(lián)立求解即可;(2)①先得出OP的方程,然后根據(jù)點差法研究即可;②先表示出,然后聯(lián)立直線和橢圓根據(jù)韋達定理代入等式求解即可.
詳解:
(1)由可得,
設橢圓方程為,代入點,得,
故橢圓方程為:.
(2)①由條件知,
設,則滿足,,
兩式作差得:,
化簡得,
因為被平分,故,
當即直線不過原點時,,所以;
當即直線過原點時,,為任意實數(shù),但時與重合;
綜上即直線的斜率為除以外的任意實數(shù).
②當時,,故 ,
得,聯(lián)立,得,舍去;
當時,設直線為,代入橢圓方程可得,(#)
所以,,
,
,
故
解得,此時方程(#)中,
故所求直線方程為.
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【題目】如圖,在△ABC中,D為邊BC上一點,AD=6,BD=3, DC=2.
(1)若AD⊥BC,求∠BAC的大小;
(2)若∠ABC= ,求△ADC的面積.
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【題目】已知某運動員每次投籃命中的概率等于 .現(xiàn)采用隨機模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率:先由計算器產生0到9之間取整數(shù)值的隨機數(shù),指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0,表示不命中;再以每三個隨機數(shù)為一組,代表三次投籃的結果.經(jīng)隨機模擬產生了如下20組隨機數(shù):
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
據(jù)此估計,該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為__________.
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【題目】 將1至這個自然數(shù)隨機填入n×n方格的個方格中,每個方格恰填一個數(shù)().對于同行或同列的每一對數(shù),都計算較大數(shù)與較小數(shù)的比值,在這個比值中的最小值,稱為這一填數(shù)法的“特征值”.
(1)若,請寫出一種填數(shù)法,并計算此填數(shù)法的“特征值”;
(2)當時,請寫出一種填數(shù)法,使得此填數(shù)法的“特征值”為;
(3)求證:對任意一個填數(shù)法,其“特征值”不大于.
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【題目】設函數(shù)的導函數(shù)為.若不等式對任意實數(shù)x恒成立,則稱函數(shù)是“超導函數(shù)”.
(1)請舉一個“超導函數(shù)” 的例子,并加以證明;
(2)若函數(shù)與都是“超導函數(shù)”,且其中一個在R上單調遞增,另一個在R上單調遞減,求證:函數(shù)是“超導函數(shù)”;
(3)若函數(shù)是“超導函數(shù)”且方程無實根,(e為自然對數(shù)的底數(shù)),判斷方程的實數(shù)根的個數(shù)并說明理由.
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【題目】已知函數(shù) .
(1)求f(x)的極值;
(2)當0<x<e時,求證:f(e+x)>f(e﹣x);
(3)設函數(shù)f(x)圖象與直線y=m的兩交點分別為A(x1 , f(x1)、B(x2 , f(x2)),中點橫坐標為x0 , 證明:f'(x0)<0.
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【題目】傳承傳統(tǒng)文化再掀熱潮,央視科教頻道以詩詞知識競賽為主的《中國詩詞大會》火爆熒屏.將中學組和大學組的參賽選手按成績分為優(yōu)秀、良好、一般三個等級,隨機從中抽取了名選手進行調查,下面是根據(jù)調查結果繪制的選手等級人數(shù)的條形圖.
(1)若將一般等級和良好等級合稱為合格等級,根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否有的把握認為選手成績“優(yōu)秀”與文化程度有關?
優(yōu)秀 | 合格 | 合計 | |
大學組 | |||
中學組 | |||
合計 |
注:,其中.
(2)若參賽選手共萬人,用頻率估計概率,試估計其中優(yōu)秀等級的選手人數(shù);
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