Question

【題目】已知定義在上的奇函數(shù)滿足，且時(shí)有，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)有下列結(jié)論：

甲：；

乙：函數(shù)在上是增函數(shù)；

丙：函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱；

�。喝�，則關(guān)于的方程在上所有根之和為.

其中正確的是（ ）

A.乙、丁B.乙、丙C.甲、乙、丙D.乙、丙、丁

Answer 1

【答案】B

【解析】

甲：利用奇函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合已知的等式和函數(shù)的解析式直接求解即可；

乙：根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)在上的解析式，這樣可以求出函數(shù)在上的解析式，再利用等式可以求出函數(shù)在上的解析式，并判斷出單調(diào)性，再根據(jù)奇函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)判斷出函數(shù)在上的單調(diào)性；

丙：根據(jù)已知等式可以求出函數(shù)的周期，這樣就可以判斷是否成立即可；

�。呵蟪�時(shí)，函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)圖象在的圖象，結(jié)合圖象進(jìn)行判斷即可.

甲結(jié)論：，故甲結(jié)論不正確；

乙結(jié)論：當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，

. 由，

因此當(dāng)時(shí)，，顯然當(dāng)，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，則有，當(dāng)，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，則有，所以函數(shù)在時(shí)，是單調(diào)遞增函數(shù)，故由奇函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)可知：函數(shù)在上是增函數(shù)，故乙結(jié)論是正確的；

丙結(jié)論：

，所以函數(shù)的周期為8，該函數(shù)是奇函數(shù)，所以，因此有：，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，故丙結(jié)論是正確的；

丁結(jié)論：由上分析可知當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，根據(jù)周期性可知：，所以函數(shù)在上的函數(shù)圖象如下圖所示：

由圖象可知：在上、上，分別關(guān)于直線對(duì)稱，

而且函數(shù)與函數(shù)有四個(gè)交點(diǎn)，從左到右設(shè)為：，因此有，故丁結(jié)論不正確.

故選：B