Question

已知直線l：3x-y-1=0及點A（4，1），B（0，4），C（2，0）．
（1）試在l上求一點P，使|AP|+|CP|最��；
（2）試在l上求一點Q，使|AQ|-|BQ|最大．

Answer 1

考點：與直線關于點、直線對稱的直線方程

專題：直線與圓

分析：（1）求出C關于直線的對稱點C′的坐標，求出直線AC′的方程，通過求解方程組，即可在l上求一點P，使|AP|+|CP|最��；
（2）求出B關于直線的對稱點B′的坐標，求出直線AC′的方程，通過求解方程組，即在l上求一點Q，使|AQ|-|BQ|最大．

解答： 解：（1）設C關于直線的對稱點C′的坐標（a，b），則

3× 2+a 2 - b 2 -1=0 b a-2 ×3=-1

，解得

a=-1 b=1

，
則AC′的直線方程為：y=1，聯(lián)立

3x-y-1=0 y=1

，
交點為（

2

3

，1），在l上求一點P（

2

3

，1），使|AP|+|CP|最��；
（2）設B關于直線的對稱點B′的坐標（a，b），則

3× 0+a 2 - 4+b 2 -1=0 b-4 a-0 ×3=-1

，

a=3 b=3

解得B′（3，3），
直線AB′的方程為：

y-3

x-3

=

3-1

3-4

，即2x+y-9=0，
聯(lián)立

2x+y-9=0 3x-y-1=0

，解得：

x=2 y=5

，在l上求一點Q（2，5），
由對稱性知，|BQ|=B′Q|，|AQ|-|BQ|=|AQ|-|B′Q|≤|AB′|（當且僅當Q、B′、A三點共線時取“=”），
∴l(xiāng)上的點Q（2，5），是使|AQ|-|BQ|最大的點．

點評：本題考查直線關于直線，點關于直線對稱點的求法，兩點兩點距離之和與差的最值問題，考查計算能力．