Question

如圖，菱形ABCD的邊長為4，∠BAD=60°，AC∩BD=O．將菱形ABCD沿對角線AC折起，得到三棱錐B﹣ACD，點M是棱BC的中點，DM=2．

（1）求證：OM∥平面ABD；

（2）求證：平面DOM⊥平面ABC；

（3）求三棱錐B﹣DOM的體積．

 

 

Answer 1

（1）∵O為AC的中點，M為BC的中點，∴OM∥AB．又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，∴OM∥平面ABD．（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱錐B-ACD中，OD⊥AC．在菱形ABCD中，AB=AD=4，

∠BAD=60°，可得BD=4．∵O為BD的中點，∴，BD=2．∵O為AC的中點，M為BC的中點，∴，AB=2．因此，，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC內(nèi)的相交直線，∴OD⊥平面ABC．∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用三角形中位線定理，證出OM∥AB，結合線面平行判定定理，即可證出OM∥平面ABD．

（2）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，算出，BD=2，，AB=2，從而得到，可得OD⊥OM．結合OD⊥AC利用線面垂直的判定定理，證出OD⊥平面ABC，從而證出平面DOM⊥平面ABC．

（3）由（2）得到OD為三棱錐D-BOM的高．算出△BOM的面積，利用錐體體積公式算出三棱錐D-BOM的體積，即可得到三棱錐B-DOM的體積．

試題解析：（1）∵O為AC的中點，M為BC的中點，∴OM∥AB．

又∵OM?平面ABD，AB?平面ABD，∴OM∥平面ABD．

（2）∵在菱形ABCD中，OD⊥AC，∴在三棱錐B-ACD中，OD⊥AC．

在菱形ABCD中，AB=AD=4，∠BAD=60°，可得BD=4．

∵O為BD的中點，∴DO=，BD=2．∵O為AC的中點，M為BC的中點，∴OM=，AB=2．

因此，，可得OD⊥OM．∵AC、OM是平面ABC內(nèi)的相交直線，∴OD⊥平面ABC．

∵OD?平面DOM，∴平面DOM⊥平面ABC．

（3）由（2）得，OD⊥平面BOM，所以OD是三棱錐D-BOM的高．

由OD=2，，

所以.

考點：線面平行問題；面面垂直問題；三棱錐的體積.