已知點(diǎn)M（-5，0），F(xiàn)（1，0），點(diǎn)K滿足
MK
=2
KF
，P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|
PF
|•|
KF
|=
PK
•
FK
，
（Ⅰ）求P點(diǎn)的軌跡C的方程；
（Ⅱ）設(shè)過Q（4，0）的直線l交C于A點(diǎn)（A在第一象限）．問：是否存在垂直于x軸的直線l′，使其被以AQ為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出直線l′的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（Ⅰ）先確定K的坐標(biāo)，再利用|
PF
|•|
KF
|=
PK
•
FK
，即可求P點(diǎn)的軌跡C的方程；
（Ⅱ）因?yàn)镻在（Ⅰ）中的拋物線上，設(shè)出A的坐標(biāo)，求出AQ的中點(diǎn)坐標(biāo)，利用弦心距公式列式求出以AQ為直徑的圓與直線x=a的相交弦長(zhǎng)，由弦長(zhǎng)為定值可求得定值a的值．
解答： 解：（Ⅰ）設(shè)K（x0，y0），P（x，y），
∵M(jìn)（-5，0），F(xiàn)（1，0），
MK
=2
KF
，
∴（x0+5，y0）=2（1-x0，-y0），
∴x0=-1，y0=0，∴K（-1，0），
∵|
PF
|•|
KF
|=
PK
•
FK
，
∴2
(x-1)2+y2
=（-1-x0，-y0）•（-2，0）
∴
(x-1)2+y2
=1+x，即y2=4x；
（Ⅱ）設(shè)A（x，y），∵Q（4，0），
∴以AQ為直徑的圓的圓心即AQ的中點(diǎn)T（
x
2
+2，
y
2
），
以PM為直徑的圓與直線x=a的相交弦長(zhǎng)：
L=2
(
x
2
+2-4)2+
y2
4
-(
x
2
+2-a)2
=
(a-3)x+4a-a2
，
若a為常數(shù)，則對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，L為定值的條件是a-3=0，即a=3時(shí)，L=
3
．
∴存在定直線x=3，以AQ為直徑的圓與直線x=3的相交弦長(zhǎng)為定值
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查了直線與圓的關(guān)系，訓(xùn)練了利用弦心距求弦長(zhǎng)，是有一定難度題目．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f（x）=
2-x
x-1
的定義域?yàn)榧螦，關(guān)于x的不等式32ax＜3a+x（a∈R）的解集為B，求使A∩B=A的實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在一次演講比賽中，6位評(píng)委對(duì)一名選手打分的莖葉圖如圖1所示，若去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，得到一組數(shù)據(jù)xi（1≤i≤4），在如圖2所示的程序框圖中，
.
x
是這4個(gè)數(shù)據(jù)中的平均數(shù)，則輸出的v的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若橢圓Γ上存在點(diǎn)P，使△PF1F2是以F1P為底邊的等腰三角形，則橢圓Γ的離心率的取值范圍是（　　）
A、（0，
1
2
）
B、（0，
1
3
）
C、（
1
2
，1）
D、（
1
3
，1）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若不等式（a-2）x2+2（a-2）x-4＜0的解集為R，則a的取值范圍是（　�。�
A、a≤2B、-2＜a≤2
C、-2＜a＜2D、a＜2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)M是曲線C上任一點(diǎn)，點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離多1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過點(diǎn)P（0，2）的直線L交曲線C于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過原點(diǎn)O，求直線L的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知中心在原點(diǎn)的橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F1（0，-2
2
），又過點(diǎn)（-1，0），且離心率e滿足
2
3
，e，
4
3
成等比數(shù)列．
（1）求橢圓的方程；
（2）試問是否存在直線l，使l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、N，且線段MN恰被直線x=-
1
2
平分？若存在，求出l的傾斜角的取值范圍；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，DP⊥x軸，點(diǎn)M在DP的延長(zhǎng)線上，
|DM|
|DP|
=
3
2
，當(dāng)點(diǎn)P在圓x2+y2=4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
（1）求：動(dòng)點(diǎn)M的軌跡E的方程； 
（2）若B（-2，0），C（1，0），A是曲線E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求：
AB
•
AC
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)橢圓的方程為E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，斜率為1的直線不經(jīng)過原點(diǎn)O，而且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．
（1）問：直線OM與AB能否垂直？若能，a，b之間滿足什么關(guān)系；若不能，說明理由；
（2）已知M為ON的中點(diǎn)，且N點(diǎn)在橢圓上．若∠OAN=
π
2
，求橢圓的離心率．

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