Question

設(shè)橢圓的方程為E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，斜率為1的直線不經(jīng)過原點(diǎn)O，而且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)．
（1）問：直線OM與AB能否垂直？若能，a，b之間滿足什么關(guān)系；若不能，說明理由；
（2）已知M為ON的中點(diǎn)，且N點(diǎn)在橢圓上．若∠OAN=

π

2

，求橢圓的離心率．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)直線AB的方程為y=x+m，m≠0，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，求出M的坐標(biāo)，假設(shè)直線OM與AB能垂直，由于直線AB的斜率為1，可得直線OM的斜率為-1，即可得出結(jié)論；
（2）確定

OA

•

OB

=0，可得x_Ax_B+y_Ay_B=0，即x_Ax_B+（x_A+m）（x_B+m）=0，整理得m²（a²+b²）=2a²b²，結(jié)合N點(diǎn)在橢圓上，即可求橢圓的離心率．

解答： 解：（1）∵斜率為1的直線不經(jīng)過原點(diǎn)O，而且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，
∴可以設(shè)直線AB的方程為y=x+m，m≠0．
∵

x2 a2 + y2 b2 =1 y=x+m

，∴b²x²+a²（x+m）²-a²b²=0，
∴（a²+b²）x²+2ma²x+m²a²-a²b²=0．①…（1分）
∵直線AB與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，
∴△=（2ma²）²-4（a²+b²）（m²a²-a²b²）=4[m²a⁴-（m²a⁴+m²a²b²-a⁴b²-a²b⁴）]
=4[a⁴b²+a²b⁴-m²a²b²]=4a²b²（a²+b²-m²）＞0．②…（2分）
且xA+xB=-

2ma2

a2+b2

，xAxB=

m2a2-a2b2

a2+b2

．③…（3分）
∵M(jìn)為線段AB的中點(diǎn)，∴xM=

xA+xB

2

=-

ma2

a2+b2

，
∴yM=xM+m=-

ma2

a2+b2

+m=m

b2

a2+b2

，
∴M(-

ma2

a2+b2

，

mb2

a2+b2

)．…（4分）
假設(shè)直線OM與AB能垂直．
∵直線AB的斜率為1，∴直線OM的斜率為-1，
∴

mb2

a2+b2

=-(-

ma2

a2+b2

)，∴a=b．…（5分）
∵在橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)中，a＞b，
∴假設(shè)不正確，在橢圓中直線OM與AB不能垂直．…（6分）
（2）∵M(jìn)為ON的中點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，∴四邊形OANB為平行四邊形．
∵∠OAN=

π

2

，∴四邊形OANB為矩形，∴∠AOB=

π

2

，…（7分）
∴

OA

•

OB

=0，∴x_Ax_B+y_Ay_B=0，∴x_Ax_B+（x_A+m）（x_B+m）=0，
∴2xAxB+m(xA+xB)+m2=0，
∴2

m2a2-a2b2

a2+b2

+m(-

2ma2

a2+b2

)+m2=0，整理得m²（a²+b²）=2a²b²．…（8分）
∵N點(diǎn)在橢圓上，∴

b2(-2ma2)2

(a2+b2)2

+

a2(2mb2)2

(a2+b2)2

=a2b2，
∴4m²=a²+b²．…（9分）
此時(shí)a²+b²-m²=3m²＞0，滿足△＞0，
消去m²得（a²+b²）²=8a²b²，即a⁴+b⁴-6a²b²=0．…（10分）
設(shè)橢圓的離心率為e，則c=ae，∴b²=a²-c²=a²（1-e²），
∴a⁴+a⁴（1-e²）²-6a²a²（1-e²）=0，∴e⁴+4e²-4=0，
∴e2=-2±2

2

，
∵0＜e＜1，∴e=

2 2 -2

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)，此類問題常用直線方程和圓錐曲線方程聯(lián)立，利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求解，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，屬難題．