Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AA₁⊥平面ABC，AB=AC=2，∠BAC=90°，四邊形AA₁C₁C為正方形，M，N分別為A₁C，A₁B₁中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：MN∥面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求二面角A-B₁C-A₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）在△A₁B₁C中M、N分別是A₁C、A₁B₁的中點(diǎn)，結(jié)合中位線定理和線面平行的判定定理，可得答案．
（II）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，求出平面A₁CB₁的一個法向量和平面ACB₁的一個法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解答： 證明：（Ⅰ）在△A₁B₁C中M、N分別是A₁C、A₁B₁的中點(diǎn)，
∴MN∥B₁C…（3分）
又∵B₁C?平面BCC₁B₁，MN?平面BCC₁B₁
∴MN∥平面BCC₁B₁…（5分）
解：（Ⅱ）如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則A（0，0，0），A₁（2，0，0），C（0，2，0），B₁（2，0，2），C₁（2，2，0），
∴

AC

=(0，2，0)，

AB1

=(2，0，2)…（7分）
平面A₁CB₁的一個法向量

n1

=

AC1

=(2，2，0)．…（9分）
設(shè)平面ACB₁的一個法向量為

n2

=(x，y，z)，
則

n2 • AC    =0 n2 • AB1 =0

，即

y=0 x+z=0

取

n2

=(1，0，-1)．…（10分）
∴|cos?

n1

，

n2

＞|=

2

2 •2 2

=

1

2

∴二面角A-CB₁-A₁的余弦值是

1

2

．…（13分）

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是與二面角有關(guān)的立體幾何，直線與平面平行的判斷，建立空間坐標(biāo)系，將二面角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答的關(guān)鍵．