Question

若過(guò)點(diǎn)A（0，1）和B（4，m），并且與x軸相切的圓只有一個(gè)，求實(shí)數(shù)m的值和這圓的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系

專(zhuān)題：直線與圓

分析：設(shè)出圓心的坐標(biāo)，由圓心到A、B及x軸的距離相等列兩式a²+（b-1）²=b²，（4-a）²+（m-b）²=b²，消去b后得關(guān)于a的方程，然后分二次項(xiàng)系數(shù)等于0和二次項(xiàng)系數(shù)不等于0時(shí)判別式等于0求解m的值，進(jìn)一步求出a，b的值，則圓的方程可求．

解答： 解：∵圓過(guò)點(diǎn)A（0，1）和B（4，m），并且與x軸相切，
∴圓心必在AB的垂直平分線上，且圓心到A，B及x軸的距離相等，
設(shè)圓心為（a，b），則有：
a²+（b-1）²=b²  ①
（4-a）²+（m-b）²=b²  ②
聯(lián)立①②消去b得：（1-m）a²-8a+m²-m+16=0  ③
∵過(guò)點(diǎn)A（0，1）和B（4，m），并且與x軸相切的圓只有一個(gè)，
∴方程③有唯一解，
當(dāng)1-m=0，即m=1時(shí)方程有唯一解，把m=1代入③，得a=2，
把a(bǔ)=2代入①，得b=

5

2

．
∴圓的方程為：（x-2）²+(y-

5

2

)2=(

5

2

)2；
當(dāng)1-m≠0時(shí)，需△=（-8）²-4（1-m）（m²-m+16）=4m³-8m²+68m=0，
解得：m=0．
把m=0代入③，得a=4，
把a(bǔ)=4代入①，得b=

17

2

．
∴圓的方程為：（x-4）²+(y-

17

2

)2=(

17

2

)2．
綜上：當(dāng)m=0時(shí)，相對(duì)應(yīng)的圓的方程為：（x-4）²+(y-

17

2

)2=(

17

2

)2；
當(dāng)m=1時(shí)，相對(duì)應(yīng)的圓的方程為：（x-2）²+(y-

5

2

)2=(

5

2

)2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，考查了分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想方法，明確方程（1-m）a²-8a+m²-m+16=0僅有一個(gè)實(shí)根的條件是解答此題的關(guān)鍵，是中檔題．