Question

【題目】如圖，在各棱長均為4的直四棱柱中，底面為菱形， ， 為棱上一點(diǎn)，且.

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由底面為菱形，可得，根據(jù)直棱柱的性質(zhì)可得，由線面垂直的判定定理可得平面，從而根據(jù)面面垂直的判定定理可得平面平面；（2）設(shè)與交于點(diǎn)， 與交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)， 分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零列方程組求出平面與平面的一個法向量，根據(jù)空間向量夾角余弦公式，可得二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：∵底面為菱形，∴.

在直四棱柱中，∴底面， ∴.

∵，∴平面，

又平面，∴平面平面.

（2）解：設(shè)與交于點(diǎn)， 與交于點(diǎn)，以為原點(diǎn)， 分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則， ， ， ，

則， ， ，

設(shè)為平面的法向量，

則，

取，則.

取的中點(diǎn)，連接，則，

易證平面，從而平面的一個法向量為.

∴，

∴由圖可知，二面角為銳角，二面角的余弦值為.

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查面面垂直的證明以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；（2）寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)，求出相應(yīng)直線的方向向量；（3）設(shè)出相應(yīng)平面的法向量，利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系；（5）根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.