Question

【題目】已知函數(shù)=，其中a>0,且a≠1

(1)判斷的奇偶性，并證明你的結(jié)論;

(2)若關(guān)于的不等式≤||在[﹣1,1]上恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍

Answer 1

【答案】(1)偶函數(shù) (2)

【解析】

（1）函數(shù)f（x）是定義域R上的偶函數(shù)，用定義法證明即可；（2）由f（x）是R上的偶函數(shù)，問題等價(jià)于f（x）≤x在[0，1]上恒成立；討論x=0和x≠0時(shí)，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

（1）函數(shù)f（x）=x（﹣）是定義域R上的偶函數(shù)，

證明如下：任取x∈R，則f（﹣x）=﹣x（﹣）=x（﹣），

∴f（x）﹣f（﹣x）=x（﹣）﹣x（﹣）=x（﹣1）=0，

∴f（﹣x）=f（x），f（x）是偶函數(shù)；

（2）由（1）知f（x）是R上的偶函數(shù)，∴不等式f（x）≤|x|在[﹣1，1]上恒成立，

等價(jià)于f（x）≤x在[0，1]上恒成立；顯然，當(dāng)x=0時(shí)，上述不等式恒成立；

當(dāng)x≠0時(shí)，上述不等式可轉(zhuǎn)化為﹣≤，∴ax≥在[0，1]上恒成立，

∴≤a＜1或a＞1，

∴求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，1）∪（1，+∞）．